数論基礎(前期2単位)

教授 有田 正剛

1.授業のねらい

本講義では、暗号技術をモチベーションとして数論の基礎を学ぶ。まず、第一部では合同式、ユークリッドの互除法、オイラーの定理などの古典的な数論を学ぶ。つぎに、第二部で、アーベル群や可換環、有限体などの抽象的代数学を用いることで、それら古典的な内容が一般化され、より広い現象に適用できることを見る。さらに、第三部では、格子暗号の基礎となる、格子の数学を学ぶ。

2.到達目標

  • 暗号技術を理解するのに必要な数論的知識を習得する
  • 抽象的代数学の概念を理解する
  • 格子の数学の基本的知識を習得する
  • 数学的方法論(定義、ステートメント、証明)を身につける

3.授業計画

[古典的整数論]
第1回 整数の基本的性質
第2回 約数、倍数、イデアル
第3回 ユークリッドの互除法
第4回 拡張ユークリッドの互除法
第5回 合同式
第6回 一次合同方程式の解法
第7回 合同類とオイラーの定理

[抽象代数学]
第8回 アーベル群
第9回 剰余群と群準同型
第10回 可換環
第11回 有限体

[格子の数学]
第12回 格子と基本概念
第13回 逐次最小、Minkowskiの不等式
第14回 Gram-Schmidt直交化
第15回 LLLアルゴリズム

4.教科書

特に指定しない。

5.参考書

  • 高木貞治、「初等整数論講義」、共立出版
  • Victor Shoup、"A Computational Introduction To Number Theory And Algebra"、Cambridge Univ.
  • Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, J.H. Silverman, "An Introduction to Mathematical Cryptography", Springer New York.

6.関連科目

アルゴリズム基礎、暗号・認証と社会制度、暗号プロトコル、量子計算と暗号理論と関連がある。

7.成績評価の方法

到達目標を充足しているかどうかを評価の基準として、期末レポートにより評価する(90%)。なお、質問など授業への積極的な参加も評価対象とする(10%)。