シラバス
数論基礎(前期2単位)
教授 有田 正剛
1.授業のねらい・到達目標
この授業では、暗号技術をモチベーションとして数論の基礎を学ぶ。まず、第一部では合同式、ユークリッドの互除法、オイラーの定理などの古典的な数論を学ぶ。つぎに、第二部で、アーベル群や可換環、有限体などの抽象的代数学を用いることで、それら古典的な内容が一般化され、より広い現象に適用できることを見る。さらに、第三部では、格子暗号の基礎となる、格子の数学を学ぶ。本科目を学ぶことにより、暗号技術を理解するのに必要な数論的知識を習得すること、抽象的代数学の概念を理解すること、暗号実装に必要な基本的な数論アルゴリズムを習得すること、また数学的方法論(定義、ステートメント、証明)を身につけることができる。
2.授業計画
- 古典的整数論
- 合同式、合同方程式(第1回~第2回)
- ユークリッドの互除法(第3回)
- フェルマーの定理、オイラーの定理(第4回~第5回)
- 抽象的代数学
- アーベル群、部分群、商群(第6回~第7回)
- 準同型定理(第8回)
- 可換環、有限体(第9回~第10回)
- 格子の数学
- 格子の定義、基底、ノルム(第11回~第12回)
- 逐次最小、Minkowskiの不等式 (第13回)
- Gram-Schmidt直交化、LLLアルゴリズム(第14回~第15回)
3.教科書
特に指定しない。
4.参考書
- 高木貞治、「初等整数論講義」、共立出版
- Victor Shoup、"A Computational Introduction To Number Theory And Algebra"、Cambridge Univ.
- Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, J.H. Silverman, "An Introduction to Mathematical Cryptography", Springer New York.
5.関連科目
アルゴリズム基礎、暗号・認証と社会制度、暗号プロトコル、計算代数、暗号理論と関連がある。
6.成績評価の方法
期末レポートにより評価する(100%)。
到達目標を充足しているかどうかを評価の基準とする。
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