シラバス GRADUATE SCHOOL

数論基礎（前期2単位）

教授 有田 正剛

１．授業のねらい

本講義では、暗号技術をモチベーションとして数論の基礎を学ぶ。まず、第一部では合同式、ユークリッドの互除法、オイラーの定理などの古典的な数論を学ぶ。つぎに、第二部で、アーベル群や可換環、有限体などの抽象的代数学を用いることで、それら古典的な内容が一般化され、より広い現象に適用できることを見る。さらに、第三部では、格子暗号の基礎となる、格子の数学を学ぶ。

２．到達目標

・暗号技術を理解するのに必要な数論的知識を習得する
・抽象的代数学の概念を理解する
・格子の数学の基本的知識を習得する
・数学的方法論（定義、ステートメント、証明）を身につける

３．授業計画と開講形態

開講形態は原則として全回教室での対面授業として開催する。

[古典的整数論]
第1回 整数の基本的性質
　　　　<整数の特性, 割り算の原理, 床記号>
第2回 約数、倍数、イデアル
　　　　<イデアル, 主イデアル, 主イデアル定理>
第3回 ユークリッドの互除法
　　　　<アルゴリズムの解説, 計算例, 演習>
第4回 拡張ユークリッドの互除法
　　　　<アルゴリズムの解説, 計算例, 演習>
第5回 合同式
　　　　<合同式の定義, 基本的性質, 剰余逆数>
第6回 一次合同方程式の解法
　　　　<アルゴリズムの解説, 計算例, 演習>
第7回 合同類とオイラーの定理
　　　　<合同類, 剰余類環, 既約剰余類群, オイラーの定理>

[抽象代数学]
第8回 アーベル群
　　　　<定義, 基本的性質, 部分群>
第9回 剰余群と群準同型
　　　　<ラグランジュの定理, 同型定理, 位数の概念>
第10回 可換環
　　　　<定義, 基本的性質, 多項式環>
第11回 有限体
　　　　<定義, 基本的性質, 逆数演算>

[格子の数学]
第12回 格子と基本概念
　　　　<定義, 基本的性質, 基底, 基本領域>
第13回 逐次最小、Minkowskiの不等式
　　　　<格子不変量,上界・下界, 最短ベクトル問題, 最近ベクトル問題>
第14回 Gram-Schmidt直交化
　　　　<アルゴリズムの解説, 計算例, 演習>
第15回 LLLアルゴリズム
　　　　<アルゴリズムの解説, 計算例, 最短（最近）ベクトル問題との関係>

４．教科書（学生が履修するにあたって必携のもの）

特に指定しない。

５．参考書

• 高木貞治,「初等整数論講義」, 共立出版.
• Victor Shoup, "A Computational Introduction To Number Theory And Algebra", Cambridge Univ.
• Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, J.H. Silverman, "An Introduction to Mathematical Cryptography", Springer New York.

６．関連科目

暗号・認証と社会制度、暗号プロトコル、量子計算と暗号理論と関連がある。

７．成績評価の方法と基準

到達目標を充足しているかどうかを評価の基準として、期末レポートにより評価する（90％）。なお、質問など授業への積極的な参加も評価対象とする（10％）。