数論基礎（前期2単位）

教授　有田 正剛

１．授業のねらい・到達目標

この授業では、暗号技術をモチベーションとして数論の基礎を学ぶ。まず、第一部では合同式、ユークリッドの互除法、オイラーの定理などの古典的な数論を学ぶ。つぎに、第二部で、アーベル群や可換環、有限体などの抽象的代数学を用いることで、それら古典的な内容が一般化され、より広い現象に適用できることを見る。さらに、第三部では、格子暗号の基礎となる、格子の数学を学ぶ。本科目を学ぶことにより、暗号技術を理解するのに必要な数論的知識を習得すること、抽象的代数学の概念を理解すること、暗号実装に必要な基本的な数論アルゴリズムを習得すること、また数学的方法論（定義、ステートメント、証明）を身につけることができる。

２．授業計画

1. 古典的整数論
   1. 合同式、合同方程式（第1回～第2回）
   2. ユークリッドの互除法（第3回）
   3. フェルマーの定理、オイラーの定理（第4回～第5回）
2. 抽象的代数学
   1. アーベル群、部分群、商群（第6回～第7回）
   2. 準同型定理（第8回）
   3. 可換環、有限体（第9回～第10回）
3. 格子の数学
   1. 格子の定義、基底、ノルム（第11回～第12回）
   2. 逐次最小、Minkowskiの不等式 （第13回）
   3. Gram-Schmidt直交化、LLLアルゴリズム（第14回～第15回）

３．教科書

特に指定しない。

４．参考書

• 高木貞治、「初等整数論講義」、共立出版
• Victor Shoup、"A Computational Introduction To Number Theory And Algebra"、Cambridge Univ.
• Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, J.H. Silverman, "An Introduction to Mathematical Cryptography", Springer New York.

５．関連科目

アルゴリズム基礎、暗号・認証と社会制度、暗号プロトコル、計算代数、暗号理論と関連がある。

６．成績評価の方法

期末レポートにより評価する（100％）。
到達目標を充足しているかどうかを評価の基準とする。